世界間隔が不変であることの証明

光速度不変の原理

特殊相対論では

あらゆる慣性系で
光速度は一定である

という原理がその出発点となる。

つまり、たとえジェットコースターに乗っていても、とても速いスポーツカーに乗っていても、新幹線に乗っていても、光に「追いつく」ことは全くできず、どんな状況からしても光は同じ速度を持って走るわけである。

光速度で伝播する信号

ある座標系$S$系において、時刻$t_1$に座標$(x_1,y_1,z_1)$から光速度の信号を送り出し、時刻$t_2$に$(x_2,y_2,z_2)$へそれが到着する場合を考え、それぞれ事象1と事象2とする。

この時信号の伝播した空間的距離は$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$であり、また光速度を$c$とおくと、信号はその速さで伝播するので、その距離はまた$c(t_2-t_1)$と書かれる。

故に

$$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=c^2(t_2-t_1)^2\tag{1}$$

が成り立つ。

(1)式は左辺を移項して次のようにも書ける。

$$c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2=0\tag{2}$$

次にこれらの事象を$S$系に対して相対速度を持つ別の座標系$S’$からみる場合を考える。

$S’$において事象1の座標を$x_1’,y_1’,z_1′,t_1’$で、事象2の座標を$x_2’,y_2’,z_2′,t_2’$で表すと、先ほどと同じように

$$c^2(t_2′-t_1′)^2-(x_2′-x_1′)^2-(y_2′-y_1′)^2-(z_2′-z_1′)^2=0\tag{3}$$

と書ける。上式で光速度が不変であることから $c$は共通であることに注意。

ここで2つの事象間で

$$s_{12}=\{c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2\}^{\frac{1}{2}}\tag{4}$$

という量を定義すると、上の結果からある系（今の場合$S$系）で$s_{12}=0$ならば他の系（$S’$系）でもそれは0になることがわかる。

この量$s$のことを「世界間隔」といい、これは４次元時空上の仮想的な距離とみなせる。

上の結果はある座標系で世界間隔が0ならば、他の系でも同じく世界間隔が0になることを示す。

時空上で2つの事象が無限に「近い」場合には、世界間隔$ds^2$は

$$\large ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\tag{5}$$

と書かれる。

相対運動をしている異なる座標系における世界間隔の関係

ある座標系で世界間隔が0ならば、他の座標系でも世界間隔が0になることがわかった。

次に知りたいのは異なる座標系間での、一般的な世界間隔（$ds$と$ds’$）を結ぶ関係式である。

• ある座標系で世界間隔が0ならば他の座標系でも世界間隔が0になる
• （世界間隔の定義式から）$ds^2$と$ds’^2$は同じ次数

という2つの条件から$ds^2$と$ds’^2$を結ぶ数式は

$$\large ds^2=\alpha ds’^2 \tag{6}$$

というように、係数$\alpha$を通じて結ばれることが推測される。

では$\alpha$が満たすべき条件を考える。

まず$\alpha$は2つの座標系の「相対速度の絶対値」にのみ依存することができ、$\alpha(V)$と書けると考えられる。

なぜなら$\alpha$が時空上の座標に依存することは、時空上の異なる点ではその対応則(6)式がそれぞれ異なることを意味するが、これは「時間と空間の一様性」から明らかに反する。

また、速度の向きによってその対応則(6)式が変わることは「空間の等方性」に反する。

その結果(6)式は

$$\large ds^2=\alpha(V) ds’^2\tag{7}$$
$$(Vは相対的な速さ)$$

と書ける。

もっと詳しく$\alpha(V)$を求めるために、3つの異なる系$S,S_1,S_2$を考え、$S$系からみた系$S_1,S_2$の（相対）速度を$V_1,V_2$、また（$S$系からみた）系$S_2$の系$S_1$に対するの相対速度を$V_{12}$とすると、今

$$ds^2=\alpha(V_1) ds_1^2$$

$$ds^2=\alpha(V_2)ds_2^2$$

$$ds_1^2=\alpha(V_{12})ds_2^2$$

という3つの関係式が得られることになる。

これらの式から
比を考えることによって

$$\large \frac{\alpha(V_2)}{\alpha(V_1)}=\alpha(V_{12})\tag{8}$$

が得られる。

ここで$V_{12}$は$S_1,S_2$の速度$\vec{V_1},\vec{V_2}$の絶対値だけでなく、それらがなす角度に依存するはずである。

しかし(8)式は$V_{12}$が速度$\vec{V_1},\vec{V_2}$の絶対値だけに依存していることを意味する式となっている。

このことから$\alpha$は$V$の関数ではなく定数であることがわかる。

そしてその定数は(8)式を満たすことから、

$$\Large \alpha = 1$$

とわかる。

以上のような議論から、最終的に

$$\Large ds^2=ds’^2 \tag{9}$$

という帰結が得られ

世界間隔は
異なる慣性系で不変

ということが言える。

この(9)式は相対論における光速度不変の原理の数学的定式化とも言える。