『ケプラーの第三法則』を等式から導く

ケプラーの第三法則とは

ケプラーの第三法則とは

というもの。

このケプラーの第三法則は高校物理でも
当たり前のように登場してきますが
今回はケプラーの第三法則について

等式からの導出

を行う。

今回前提として使う知識

ケプラーの第一、第二法則
（運動方程式と面積速度一定の法則）

中心力を

$$\Large F(r)=-mf(r)=-\frac{m\mu}{r^2}\tag{1}$$

で表すと、その軌跡は

$$\LARGE r(\theta)=\frac{l}{1-e\cos \theta}\tag{2}$$
$$\Large l=\frac{h^2}{\mu}\tag{3}$$
$(eは離心率、hは面積速度の2倍を表す)$

で表される。

楕円の面積とその幾何学的特徴

楕円の長半径aを、短半径をbとすると、
楕円の面積Sは

$$\Large S=\pi ab \tag{4}$$

と表される。

また、楕円の性質上

$$\Large b^2=la \tag{5}$$

が成り立つ。

ケプラーの第三法則の導出

この時、中心力によって描かれる
楕円の面積をSとし
この運動の周期をTとすると
面積速度一定の法則より、

\begin{eqnarray}\Large T& = &\Large\frac{S}{\frac{h}{2}} \\ & = &\Large\frac{2{\pi}a}{h}\sqrt{la} \tag{6}\end{eqnarray}

と表される。

また(6)に(3)を代入して

\begin{eqnarray}\LARGE T& = &\LARGE\frac{2\pi}{h}\sqrt\frac{h^2a^3}{\mu} \\ &=& \LARGE2\pi\sqrt\frac{a^3}{\mu}\tag{7}\end{eqnarray}

これは
Tの2乗が楕円の長半径aの3乗に比例する、

つまり

$$\LARGE T^2\propto a^3$$
$\Large(ケプラーの第三法則)$

が導かれた。