ガウス積分の証明とその拡張

ガウス積分の定義

ガウス積分とは次で”定義”されるような積分$I$を言う。

$$\large I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\tag{1}$$

（$a$は定数）

この積分の結果は

$$\large I=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{2}$$

となる。

今回はこの証明を行う。

ガウス積分の証明

（2）式を証明するために、ガウス積分の二乗を考える。

すると、

\begin{align}
\large I^2&\large{=\Big(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\Big)^2}\\
&(以後積分範囲は省略)\\
\\
&\large =\int e^{-ax^2}dx\cdot \int e^{-ay^2}dy\\
\\
&\large =\int \int e^{-a(x^2+y^2)}dxdy\\
&(極座標平面へ変数変換)\\
\\
&\large = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty}re^{-ar^2}dr\\
\\
&(r^2＝tと変数変換し、2rdr=dtに注意して、)\\
\\
&\large=\pi\int_{0}^{\infty} e^{-at}dt\\
\\
&\large=\pi\Big[-\frac{1}{a}e^{-at}\Big]_{0}^{\infty}\\
\\
\large I^2&\large=\frac{\pi}{a} \tag{3}\\
\end{align}

したがって

$$\large I=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{3}$$

ガウス積分の拡張

次にガウス積分に$x$の冪がかかった、次のような積分を考える。

$$\Large \int_{-\infty}^{\infty} x^{m}e^{-ax^2}dx\\~~(mは1以上の整数)\tag{4}$$

$m$が奇数の場合

まず$m$が奇数の場合を考える。

この時（4）式は、1以上の整数$n$を用いて

$$\large \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n-1}e^{-ax^2}dx\tag{5}$$

とかけ、この被積分関数

$$\Large x^{2n-1}e^{-ax^2}$$

は明らかに奇関数である。故に

$$\large \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n-1}e^{-ax^2}dx=0$$

$m$が偶数の場合

次に（4）式において$m$が偶数の場合
先ほどと同様に1以上の整数$n$を用いて（4）式は

$$\large \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-ax^2}dx\tag{6}$$

ここで（6）式の積分を$I_n$とおき、$I$との比$\frac{I_n}{I}$を考えてみる。

$$\large \frac{I_n}{I}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}x^{2n}e^{-ax^2}dx}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx}$$

そしてこの時分子について、

$$\large \int x^{2n}e^{-ax^2}dx=\Big(-\frac{d}{da}\Big)^n \int e^{-ax^2}dx$$

であることに注意を向けると

\begin{equation}
\begin{split}
\large \frac{I_n}{I}&\large =\frac{\Big(-\frac{d}{da}\Big)^n\sqrt{\frac{\pi}{a}}}{\sqrt{\frac{\pi}{a}}}\\
\\
&\large =\sqrt{\frac{a}{\pi}}\cdot \sqrt{\pi}(-1)^n\Big(\frac{d}{da}\Big)^n a^{-\frac{1}{2}}\\
\\
&\large =\sqrt{\frac{a}{\pi}}\cdot \sqrt{\pi}\frac{(2n-1)!!}{2^n} a^{-\frac{2n+1}{2}}\\
\\
&\large= \frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\\
(2n-1)!!&=1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-3)\cdot (2n-1)
\end{split}
\end{equation}

よって

$$\large \frac{I_n}{I}=\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n} \tag{7}$$

であり、（7）式から

$$\large I_n=\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$$

とわかる。